حل فعالیت و کاردرکلاس صفحه10 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۱۰ حسابان یازدهم سلام دوستان عزیز! این فعالیت می‌خواهد شما را به صورت عملی با مفهوم حل یک معادله درجه دوم آشنا کند. حل معادله $f(x) = ۰$ یعنی پیدا کردن **ریشه‌های تابع**. ### گام اول: نوشتن معادله ما باید معادله $f(x) = ۰$ را حل کنیم. با جایگذاری ضابطه تابع، معادله زیر به دست می‌آید: $$x^۲ + ۴x + ۳ = ۰$$ ### گام دوم: حل معادله با روش تجزیه از آنجا که این یک معادله درجه دوم ساده است، می‌توانیم از روش **تجزیه** استفاده کنیم. باید دو عدد پیدا کنیم که: * **حاصل‌ضرب** آن‌ها برابر با $c = ۳$ باشد. * **حاصل‌جمع** آن‌ها برابر با $b = ۴$ باشد. این دو عدد، **۱** و **۳** هستند ($۱ \times ۳ = ۳$ و $۱ + ۳ = ۴$). پس معادله به صورت زیر تجزیه می‌شود: $$(x + ۱)(x + ۳) = ۰$$ ### گام سوم: پیدا کردن جواب‌ها (ریشه‌ها) با استفاده از خاصیت **ضرب صفر**، هر عامل را برابر با صفر قرار می‌دهیم: * حالت اول: $x + ۱ = ۰ \implies \mathbf{x_۱ = -۱}$ * حالت دوم: $x + ۳ = ۰ \implies \mathbf{x_۲ = -۳}$ **جواب‌های معادله** (یا ریشه‌های تابع) اعداد **$-۱$ و $-۳$** هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۱۰ حسابان یازدهم این سوال، مهم‌ترین ارتباط بین **جبر** و **هندسه** در مبحث توابع درجه دوم را نشان می‌دهد. در ریاضیات، هرگاه می‌خواهیم **محل تلاقی** (نقطه برخورد) یک نمودار با **محور طول‌ها** (محور $x$ها) را پیدا کنیم، باید شرط زیر برقرار باشد: ### ۱. مفهوم محل تلاقی با محور $x$ها * **تعریف نقطه برخورد:** هر نقطه‌ای که روی محور $x$ها قرار دارد، دارای مختصات $(x, ۰)$ است. یعنی **عرض ($y$) آن نقطه همواره صفر** است. * **جایگذاری در تابع:** می‌دانیم که $y = f(x)$. بنابراین، برای پیدا کردن نقاط برخورد با محور $x$ها، باید عبارت $f(x)$ را برابر با صفر قرار دهیم. ### ۲. نتیجه‌گیری (رابطه) * **جواب‌های معادله $f(x) = ۰$** همان مقادیر $x$هایی هستند که به ازای آن‌ها، $y$ یا $f(x)$ برابر صفر می‌شود. * **نقاط تلاقی نمودار $f$ با محور طول‌ها** همان نقاطی هستند که در آن‌ها $y = ۰$ است. بنابراین، **رابطه مستقیم** بین این دو مفهوم به شرح زیر است: > **نقاط تلاقی نمودار تابع $f(x)$ با محور طول‌ها (محور $x$ها)، همان ریشه‌ها یا جواب‌های معادله $f(x) = ۰$ هستند.** ### بررسی بر اساس شکل (فعالیت ۱) در فعالیت ۱، نمودار تابع $f(x) = x^۲ + ۴x + ۳$ رسم شده است . * **مشاهده هندسی:** نمودار، محور $x$ها را در دو نقطه قطع کرده است. این نقاط عبارتند از **$x = -۱$** و **$x = -۳$**. * **مقایسه با حل جبری:** در فعالیت ۱، ما به صورت جبری معادله $x^۲ + ۴x + ۳ = ۰$ را حل کردیم و جواب‌های **$x = -۱$** و **$x = -۳$** را به دست آوردیم. **نتیجه‌گیری**: این دو نتیجه کاملاً بر هم منطبق هستند و این رابطه مهم را تأیید می‌کنند: **ریشه‌های معادله، صفرهای تابع** هستند.